Question

求证明过程d(AXB)/dt =dA/dt X B+ AX dB/dt

A,B为三维矢量，对时间t求导。
X号是叉乘,不是点乘,而且要体现矢量..三楼的最后一步,叉乘能否使用极限乘法:
lim A X B = lim A X lim B ? 有依据么?
正在研究2楼,看懂了就放分.

Answer 1

解法一: 逐项求导, 但用爱因斯坦记号简化写法.

AxB=e[ijk]a[j]b[k] (e[ijk]=1, 如果ijk是123的偶排列, =-1如果是123的奇排列, =0如果不是排列)

所以 d(AxB)/dt=e[ijk] d(a[j]b[k])/dt
=e[ijk] d(a[j])/dt * b[k] + e[ijk] a[j]*d(b[k])/dt
=e[ijk] (dA/dt)[j]*b[k] + e[ijk] a[j]*(dB/dt)[k]
=(dA/dt)xB + Ax(dB/dt)

解法二:
利用分配律得
(A+dA)x(B+dB)
=AxB + (dA)xB + Ax(dB) + (dA)x(dB)

(A+dA)x(B+dB)-AxB = (dA)xB + Ax(dB) + (dA)x(dB)

但是|(dA)x(dB)/dt|<=|dA||dB/dt|-->0
即最后一项是小量

所以 d(AxB)/dt=(A+dA)x(B+dB)/dt
=(dA/dt)xB+Ax(dB/dt)

Answer 2

d(A*B)=BdA+AdB
所以d(AXB) =（dA/dt X B+ AX dB/dt）*dt
所以d(AXB)/dt =dA/dt X B+ AX dB/dt

Answer 3

以下用"〒"表示“lim[⊿t→0]”。

d(AXB)/dt ＝〒｛[A（t+⊿t）B（t+⊿t）-A（t）B（t）]/⊿t｝

＝〒｛[A（t+⊿t）B（t+⊿t）-A（t）B（t+⊿t）+

+A（t）B（t+⊿t）-A（t）B（t）]/⊿t｝

＝〒｛B（t+⊿t）·〒｛[A（t+⊿t）-A（t）]/⊿t｝+

+〒（A（t）·〒｛[B（t+⊿t）-B（t）]/⊿t｝

＝dA/dt X B+ AX dB/dt