Question

求证明过程d(AXB)/dt =dA/dt X B+ AX dB/dt

Answer 1

解法一:逐项求导,但用爱因斯坦记号简化写法.
AxB=e[ijk]a[j]b[k] (e[ijk]=1,如果ijk是123的偶排列,=-1如果是123的奇排列,=0如果不是排列)
所以 d(AxB)/dt=e[ijk] d(a[j]b[k])/dt
=e[ijk] d(a[j])/dt * b[k] + e[ijk] a[j]*d(b[k])/dt
=e[ijk] (dA/dt)[j]*b[k] + e[ijk] a[j]*(dB/dt)[k]
=(dA/dt)xB + Ax(dB/dt)
解法二:
利用分配律得
(A+dA)x(B+dB)
=AxB + (dA)xB + Ax(dB) + (dA)x(dB)
(A+dA)x(B+dB)-AxB = (dA)xB + Ax(dB) + (dA)x(dB)
但是|(dA)x(dB)/dt|0
即最后一项是小量
所以 d(AxB)/dt=(A+dA)x(B+dB)/dt
=(dA/dt)xB+Ax(dB/dt)