Question

在锐角三角形ABC中，AB=12，角BAC=30度，角BAC的平分线交BC于D,M，N分别是AD和

在锐角三角形ABC中，AB=12，角BAC=30度，角BAC的平分线交BC于D,M，N分别是AD和AB上动点，则BM+MN的最小值是？

Answer 1

如图，过B作BE⊥AC，E为垂足，

在⊿ABE中，∠AEB＝90º，AB＝12，∠BAE＝30º，

∴BE＝1／2·AB＝6；

在AC上截取AN'＝AN,，连接MN'，

在⊿ANM和⊿AN′M中，

      AN＝AN′,，

     ∠NAM＝∠N′AM，

      AM＝AM

∴⊿ANM≌⊿AN′M ﹙SAS﹚

∴MN＝MN′，

∴BM＋MN＝BM＋MN'，

欲使BM＋MN有最小值，只须BM＋MN'＝BN′，

即B、M、N′三点共线，且BN′＝BE＝6；

因此，BM＋MN的最小值是6。

Answer 2

在AC上取点N'，使得AN'=AN,连接MN'；作AC边上的高BD

∵AN=AN',∠BAD=∠CAD,AM=AM
∴△AMN≌△AMN'
MN=MN'
BM+MN=BM+MN'
因此，BM+MN距离最短，即为M,N'两点间距离BD
BD=1/2AB=6