Question

如图,已知三角形ABC中,角C=90度,AC=AB=2,O为AB中点,将45度的顶点放在点O,使角的两边分别交AC,BC于D,E

（1）找出图中一对相似三角形，并证明
（2）设AD=x，BE=y，求y关于x的解析式，写出定义域
（3）x为何值时三角形ODE为等腰三角形

Answer 1

三角形EOB与三角形ODA相似。

证明：∵AC=AB

∴∠A=∠B

∵∠C=90°

∴∠B=∠A=45°

∵∠AOE=∠B+∠OEB=∠DOA+∠DOE

∠B=∠DOE=45°

∴∠OEB=∠DOA

∵∠A=∠B ∠DOA=∠OEB

∴三角形EOB∽三角形ODA

三角形EOB∽三角形ODA

BE/OB=AO/AD

∵AC=BC=2 ∠C=90°

∴AB=8½

∴AO=BO=2½

BE=y AD=x

yx=AO*BO=2

y=2／x(1＜x＜2)

x=y=2½时三角形ODE时等腰三角形

∵BE=AD

∠B=∠A

AO=BO

∴三角形EBO≌三角形DAO

∴EO=DO

∴三角形ODE是等腰三角形

相似三角形：

定义

对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

特点

1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。

2、相似三角形对应边的比叫做相似比。

3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

4、相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比。

判定

1、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）。

2、如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）。

3、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）。

4、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。

Answer 2

⑴ΔAOD∽ΔBEO。
证明：∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠ADO+∠AOD=135°，
又∠DOE=45°，∴∠AOD+∠BOE=135°，
∴∠ADO=∠BOE，
∴ΔAOD∽ΔBEO。
⑵AB=√2AC=2√2，
∵O为AB中点，∴AO=BO=√2，
∵ΔAOD∽ΔBEO，
∴AD/AO=BO/BE，
∴X/√2=√2/Y，
Y=2/X。(0<X<2)。
⑶①当OD=OE时，ΔADO≌ΔBEO，
∴AD=BO=√2，即X=√2。
②DE=OD，则∠DEO=∠DOE=45°，
∴RTΔODE是等腰直角三角形，OD/OE=1/√2，
∴X/OB=OD/OE=1/√2，
∴X=√2。
③OD/OE=√2，
即X/2=√2，X=2√2>2，舍去。

综上所述，X=√2时，ΔODE是等腰三角形。