Question

一条直线上有三点ABC，点C在点A与点B之间，P是此直线外一点，设∠APC=a，∠BPC=b

求证（sin(a+b)）/(PC)=(sina/PB)+(sinb/PA)

Answer 1

提供思路吧，设PA=x，PB=y，PC=z，
依正弦定理，在大三角表中sin(α+β)/AB=sinA/y=sinB/x，可得sinA=ysin(α+β)/AB，sinB=xsin(α+β)/AB.
在小三角形中一样的用正弦定理可得sinα/AC=sinA/z，sinβ/BC=sinB/z，得AC=zsinα/sinA，BC=zsinβ/sinB，于是有AC+BC=AB=zsinα/sinA+zsinβ/sinB，再把上式中的sinA、sinB代入整理就得所求的式子。

具体解答如下：
面积S=1/2*AP*PB*sin（α+β）
S=1/2*PA*PC*sinα+1/2*PB*PC*sinβ
面积相等 两边同时除以（1/2*PA*PB*PC)
整理得： sin(α+β)/PC=(sinα/PB)+(sinβ/PA)