Question

定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,且函数f(x+1)为奇函数,对于下列命题:

(1)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)
(2)函数f(x)图像关于点(1,0)对称
（3）函数 f(x)的图像关于直线x=2对称
（4）函数 f(x)的最大值为f(2)
（5）f(2009)=0.
其中正确的序号为 。

Answer 1

解①对
因为f(x+2)+f(x)=0
得f(x+2)=-f(x)
即f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
②对
由f(x+1)为奇函数
设F(x)=f(x+1)
则F(x)是奇函数，
即F(-x)=-F(x)
即f(-x+1）=-f(x+1)
即函数f(x)图像关于点(1,0)对称
③对
由f(x+2)=-f(x)
得f(x+1+2)=-f(x+1)
又由f(-x+1）=-f(x+1)
知f(x+1+2)=f(-x+1）
即f(x+3)=f(-x+1）
即f(x)的图像关于直线x=2对称
④对
由①知
f(2009)
=f（502×4+1）
=f（1）
又由②知F(x)=f(x+1)
令x=0，则F(0)=f（0+1）=0
即f(1)=0
即f(2009)=0