Question

对于函数f(x),若存在x∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点

对于函数f(x),若存在x∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点。已知函数f(x)=ax^2+(b+1)X+(b-1)(a≠0） （1）若a=1,b=2时，求函数f(x)的不动点 （2）若b=2时，函数f(x)没有不动点，求a的取值范围 （3）若对任意实数b，函数f(x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围 请写的详细点

Answer 1

1)f(x)=x+3x+1 令f(x)=x,即x+3x+1=x ∴x+2x+1=(x+1)=0 ∴x=-1,f(-1)=-1 f(x)的不动点为(-1,-1) 2)f(x)=ax+3x+1 由题意,f(x)=x无实数解,即ax+3x+1=x无实数解 ax+2x+1=0无解 △=4-4a<0, a>1 综上,a>1即a的取值范围为(1,+∞) 3)f(x)=ax+(b+1)x+(b-1) 由题意,f(x)=x恒有两个实数解,即ax+(b+1)x+(b-1)=x有两个实数解 ax+bx+(b-1)=0 △=b-4a(b-1)>0恒成立 b-4ab+4a>0,相当于b-4ab+4a=0无解 △=16a-16a=16a(a-1)<0 ∴0<a<1 综上,0<a<1,即a的取值范围为(0,1)