Question

已知函数f(x)的定义域为r且满足f(x+2)=-f(x)若f(x)为奇函数，且当x大于等于0小于等于1时f(x)=1/2x求

已知函数f(x)的定义域为r且满足f(x+2)=-f(x)若f(x)为奇函数，且当x大于等于0小于等于1时f(x)=1/2x求使f(x)=-1/2在【0,2014】上的所有x的个数 此题知道周期是4 后面怎么求》？

Answer 1

解：f（x+4）=-f（x+2）=f（x）得周期T=4
1）
x在[0,1]时，f(x)=1/2x，令t=-x得：t在[-1,0]，f(-t)=1/-2t，
由f(x)为奇函数，得f(x)=-f(-x)，
所以f(t)=-f(-t)=1/2t
所以x在[-1,1]时，f(x)=1/2x，
由f(x+2)=-f(x).当t=x+2，x在[-1,1]时，t在[2,3]，x=t-2，代入得，f(t)=-f(t-2)=1/2（t-2）=1/(2t-4)所以：X在[2,3]时，f(x)=1/（2x-4）
2）
由上可知：f（-1）=-1/2,f（-3）=-1/2,而函数周期为4，两知正好再端点，因此每个周期只有一个值为-1/2,设为初始端点，从x=3，开始算，（2013-3）/4=502余2，由于从初始端算，只要大于0就出现一个-1/2,所以总共出现-1/2的次数为502+1=503次。

追问

f(x+2)=-f(x).当t=x+2，x在[-1,1]时，t在[2,3]，x=t-2，代入得，f(t)=-f(t-2)=1/2（t-2）=1/(2t-4)所以：X在[2,3]时，f(x)=1/（2x-4）

这里不是特别懂。细说下可以吗？题目中是二分之一x

Answer 2

解：当0≤x≤1时f（x）=1/2x

设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，∴f（-x）=（-x）=-x．∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=-1/2x，即f（x）=1/2x故f（x）=1/2x（-1≤x≤1）又设1＜x＜3，则-1＜x-2＜1，∴f（x-2）=1/2（x-2）又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），∴-f（x）=1/2（x-2）∴f（x）=-1/2（x-2）（1＜x＜3） ∴f（x）=1/2x，−1≤x≤1 或f（x）=-1/2(x−2)
，1＜x＜3

由f（x）=-1/2，解得x=-1∵f（x）是以4为周期的周期函数．故f（x）=-1/2的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2014算出n的取值范围结合条件n∈Z则可（这题好像在哪里见过。）