Question

f(x)=a^2·lnx-x^2+ax(a>0) ①求f(x)的单调区间 ②求所有实数a，使e-1≤f（x）≤e^2对x∈[1，e]恒成立。

Answer 1

解：因为x>0
1、f'(x)=a^2/x-2x+a=-1/x(2x^2-ax-a^2)=-1/x(2x+a)(x-a)
因为a>0,x>0,所以2x+a>0
当f'(x)>0时，x-a<0, 即0<x<a,函数递增
当f'(x)<0时，x-a>0, 即x>a,函数递减
当f'(x)=0,x=a是极大值点
∴ f(x)的单调区间为 (0,a]递增,[a,+∞）递减

2、因为 x=a时 f(x)取极大值f(a)=a^2lna-a^2+a^2=a^2lna
对x∈[1，e]
1）当a>e时 x∈[1,e] f(x)是递增函数

f(1)=a-1>=e^(-1) a>=1+1/e
f(e)=a^2 - e^2+ae<=e^2
a^2 +ae-2 e^2<=0
解得 -2e=<a<=e
∴ 1+1/e=<a<=e 而a>e所以a不存在
2) 当a<1时 x∈[1,e] f(x)是递减函数
f(1)=a-1<=e^2 a<=1+e^2
f(e)=a^2 - e^2+ae>=e^(-1)=1/e
a^2 +ae- e^2-1/e>=0
解得 a>=[-e+√(5e^2+4/e)]/2
或 a<=[-e-√(5e^2+4/e)]/2
求出a的范围
3）当1<a<e/2 f（a)=a^2lna最小值，f(e)=a^2 - e^2+ae是最大值
f(a）>=e^(-1) ,f（e)<=e^2.求出a的范围
4）当e/2<a<e f（a)=a^2lna最小值，f(1)=a-1是最大值
f(a）>=e^(-1) ,f（1)<=e^2.求出a的范围
综合1）、2）3)4)再求出a的范围。

追问

追问下可以？

为什么f（x）在[1，e]递增 可以解释下吗？

追答

看极值点x=a是递增递减的拐点，根据拐点所在位置，确定递增，递减。

Answer 2

这题我觉得还是通过求导入手