Question

f(x)=a^2·lnx-x^2+ax(a>0) ①求f(x)的单调区间 ②求所有实数a，使e-1≤f（x）≤e^2对x∈[1，e]恒成立。

在线等。

Answer 1

解：
①
∵f(x)＝a²lnx－x²＋ax，其中x＞0
∴f'(x)＝(a²/x)－2x＋a＝－(x－a)(2x＋a)/x
∵a＞0
∴f(x)的单调增区间为(0，a)，f(x)的单调减区间为(a，＋∞)
②
由题意得：
f(1)＝a－1≥e－1
即a≥e
由①知：f(x)在[1，e]内单调递增
要使e－1≤f(x)≤e²对x∈[1，e]恒成立
只要：
f(1)＝a－1≥e－1
f(e)＝a²－e²＋ae≤e²
解得：a＝e