Question

已知如图△ABC,AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证AD⊥EF

Answer 1

证明：

延长AD到G，使DG=AD，连接BG。延长DA交EF于H。

∵AD是BC边的中线

∴BD=CD

又∵∠BDG=∠CDA，DG=AD

∴△BDG≌△CDA（SAS）

∴BG=AC，∠G=∠CAD，∠GBD=∠ACD

∵△BAE和△CAF是等腰直角三角形

∴AB=AE【S】，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°

则BG=AF【S】

∵∠EAF+∠BAC=360°-∠BAE-∠CAF=180°

∠ABD +∠ACD +∠BAC=180°

∴∠EAF=∠ABD+∠ACD=∠ABD+∠GBD=∠ABG【A】

∴△EAF≌△ABG（SAS）

∴∠AFE=∠G=∠CAD

∵∠CAD+∠FAH=180°-∠CAF=90°

∴∠AFE+∠FAH=90°

∴∠AHF=90°

即AD⊥EF

基本定义

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。三角形是几何图案的基本图形。

Answer 2

【这都有提示了，还不会？】
证明：
延长AD到G，使DG=AD，连接BG。延长DA交EF于H。
∵AD是BC边的中线
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDA，DG=AD
∴△BDG≌△CDA（SAS）
∴BG=AC，∠G=∠CAD，∠GBD=∠ACD
∵△BAE和△CAF是等腰直角三角形
∴AB=AE【S】，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°
则BG=AF【S】
∵∠EAF+∠BAC=360°-∠BAE-∠CAF=180°
∠ABD +∠ACD +∠BAC=180°
∴∠EAF=∠ABD+∠ACD=∠ABD+∠GBD=∠ABG【A】
∴△EAF≌△ABG（SAS）
∴∠AFE=∠G=∠CAD
∵∠CAD+∠FAH=180°-∠CAF=90°
∴∠AFE+∠FAH=90°
∴∠AHF=90°
即AD⊥EF