Question

已知函数f（x）是定义在R上的单调函数满足f（-3）=2，，且对任意的实数a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．（

已知函数f（x）是定义在R上的单调函数满足f（-3）=2，，且对任意的实数a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．（Ⅰ）试判断f（x）在R上的单调性，并说明理由；（Ⅱ）解关于x的不等式f(2?xx)＜2．

Answer 1

（Ⅰ）结论：f（x）是R上的减函数．理由如下
∵对任意的实数a∈R有f（-a）+f（a）=0
∴f（-a）=-f（a）对任意的实数a∈R成立，可得函数f（x）是定义在R上的奇函数，
取x=0，得f（0）=0
∵f（x）在R上是单调函数，f（-3）=2＞0=f（0）
∴f（x）为R上的减函数．
（Ⅱ）由f（-3）=2，不等式f(

2?x

x

)＜2等价于f(

2?x

x

)＜f(?3)
又∵f（x）为R上的减函数，∴原不等式可化为：

2?x

x

＞?3
整理得：

2x+2

x

＞0，解之得：x＜-1或x＞0
∴不等式f(

2?x

x

)＜2的解集为（-∞，-1）∪（0，+∞）．