Question

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ 2 cos 2 θ+3ρ

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ 2 cos 2 θ+3ρ 2 sin 2 θ=2，直线l的参数方程为 x=- 3 t y=1+t (t为参数，t∈R). 试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．

Answer 1

曲线C的普通方程是 x 2 3 + y 2 =1. （2分） 直线l的普通方程是 x+ 3 y- 3 =0. （4分） 设点M的坐标是 ( 3 cosθ，sinθ)，则点M到直线l 的距离是 d= | 3 cosθ+ 3 sinθ- 3 | 2 = 3 | 2 sin(θ+ π 4 )-1| 2 . （6分） 因为- 2 ≤ 2 sin(θ+ π 4 )≤ 2 ，所以 当sin(θ+ π 4 )=-1，即θ+ π 4 =2kπ- π 2 (k∈Z)，即θ=2kπ- 3π 4 (k∈Z)时 ， d取得最大值．（8分） 此时 3 cosθ=- 6 2 ，sinθ=- 2 2 . 综上，点M的坐标为(- 6 2 ，- 2 2 )时，距离最大．(10分)