Question

如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD ∥ AC交BC于点D，在O

如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD ∥ AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若OA=10，BC=16，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵OD ∥ AC， ∴∠EDB=90°， ∴∠OEB+∠DBE=90°， 而∠OEB=∠ABC， ∴∠ABC+∠DBE=90°， ∴∠ABE=90°，∵OB为半径， ∴BE是⊙O的切线； （2）由（1）知道△ABC是直角三角形， ∴AC= AB 2 - BC 2 =12， ∵∠OEB=∠ABC，∠OBE=∠C=90°， ∴△ACB ∽ △OBE， ∴OB：AC=BE：BC， 而OA=10，BC=16， ∴10：12=BE：16， ∴BE= 40 3 ．