如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB， ∠ABC= π 3 ， ∠BCA= π 2 ，点

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB，∠ABC=π3，∠BCA=π2，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，（1）求证：BC⊥平面PAC；... 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB， ∠ABC= π 3 ， ∠BCA= π 2 ，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE ∥ BC，（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值． 展开
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#热议# 应届生在签三方时要注意什么？
飞机I0487
推荐于2016-12-01 · 超过66用户采纳过TA的回答
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（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A，
∴PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC．
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE ∥ BC，
∴DE=
1
2
BC，
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=
1
2
AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=
1
2
AB．
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=
DE
AD
=
BC
2AD
=
2
4
，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是
2
4
．（12分）
（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=a，
由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0）， B(-
1
2
a，
 3
2
a，0) ， C(0，
 3
2
a，0) ．
（1）∵
AP
=(0，0，a) ，
BC
=(
1
2
a，0，0) ，
∴
AP
?
BC
=0 ，
∴BC⊥AP．
又∵∠BCA=90°，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE ∥ BC，
∴E为PC的中点，
∴ D(-
1
4
a，
 3
4
a，
1
2
a) ， E(0，
 3
4
a，
1
2
a) ，
∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵
AD
=（-
1
4
a，
 3
4
a，
1
2
a ），
AE
=（0，
3
4
a，
1
2
a），
∴cos∠DAE=
AD
?
AE
|
AD
|?|
AE
|
=
 14
4
，sin∠DAE=
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