Question

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，已知 PB ⊥底面 ABCD ， BC ⊥ AB ， AD ∥ BC ， AB ＝ AD ＝2， CD ⊥ PD

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，已知 PB ⊥底面 ABCD ， BC ⊥ AB ， AD ∥ BC ， AB ＝ AD ＝2， CD ⊥ PD ，异面直线 PA 和 CD 所成角等于60°. (1)求证：面 PCD ⊥面 PBD ；(2)求直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值的大小；(3)在棱 PA 上是否存在一点 E ，使得二面角 A-BE-D 的余弦值为 ？若存在，指出点 E 在棱 PA 上的位置，若不存在，说明理由．





Answer 1

（1）见解析（2）存在

(1)证明: PB ⊥底面 ABCD ，∴ PD ⊥ CD ， 又∵ CD ⊥ PD ， PD ∩ PB ＝ P ， PD ， PB ?平面 PBD . ∴ CD ⊥平面 PBD ，又 CD ?平面 PCD ， ∴平面 PCD ⊥平面 PBD . (2)如图，以 B 为原点， BA ， BC ， BP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系， 设 BC ＝ a ， BP ＝ b ，则 B (0,0,0)， A (2,0,0)， C (0， a, 0)， D (2,2,0)， P (0,0， b )． ∵ ＝(2,2，－ b )， ＝(2,2－ a, 0)， CD ⊥ PD ， ∴ · ＝0，∴4＋4－2 a ＝0， a ＝4， 又 ＝(2,0，－ b )， ＝(2，－2,0)， 异面直线 PA 和 CD 所成角等于60°， ∴ ＝ ， 即 ＝ ，解得 b ＝2， ＝(0,4，－2)， ＝(0,2,0)， ＝(2,0，－2)． 设平面 PAD 的一个法向量为 n 1 ＝( x 1 ， y 1 ， z 1 )， 则由 得 取 n 1 ＝(1,0,1)， ∵sin θ ＝ ＝ ＝ ，∴直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值为 . (3)解　假设存在，设 ＝ λ ，且 E ( x ， y ， z )，则( x ， y ， z －2)＝ λ (2,0，－2)， E (2 λ ，0,2－2 λ )，设平面 DEB 的一个法向量为 n 2 ＝( x 2 ， y 2 ， z 2 )， 则由 得 取 n 2 ＝( λ －1,1－ λ ， λ )， 又平面 ABE 的法向量 n 3 ＝(0,1,0)， 由cos θ ＝ ＝ ，得 ＝ ，解得 λ ＝ 或 λ ＝2(不合题意)． ∴存在这样的 E 点， E 为棱 PA 上的靠近 A 的三等分点．