Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0．求证：（1）对任意的x∈R，都有f(1x)＝?f(x)；（2）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．

Answer 1

（1）证明：令x=y=1，则有f（1）=f（1）+f（1）?f（1）=0．
对任意x＞0，用

1

x

代替y，有f(x)+f(

1

x

)＝f(x?

1

x

)＝f(1)＝0，∴f(

1

x

)＝?f(x)．
（2）f（x）在（-∞，0）上是减函数．
取x₁＜x₂＜0，则

x1

x2

＞1，∴f(

x1

x2

)＞0，
∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f(

1

x2

)＝f(

x1

x2

)＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数．