Question

已知定义在R上的函数f（x），满足对于任意的x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）+1。还满足当x>0时 f（x）>-1

问题为：判断此函数的单调性

Answer 1

楼上的方法不严谨，设参量a，是无法说明单调性的。正确的方法应该是用定义进行证明。
证明如下：首先带入x=0，y=0：
f(0+0)=f(0)+f(0)+1
f(0)=-1
将原式化简：f(x+y)-f(x)=f(y)+1
令x1>x2,x+y=x1,x=x2:
f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+1
因为x1-x2>0.所以
f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+1>-1+1=0
f(x1)-f(x2)>0
所以f(x1)-f(x2)/(x1-x2)>0
f(x)单调递增

Answer 2

f(0+0)=f(0)+f(0)+1
f(0)=-1

对于a>0
f(x+a)=f(x)+f(a)+1
f(x+a)-f(x)=f(a)+1>-1+1=0
f(x+a)>f(x)
所以：f(x)单调递增

Answer 3

钟云浩 干得好！
周密、严谨、思路清晰

Answer 4

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