设定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的x∈(0,+∞),

设定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)>0,且f(1)=2.若对任意的x∈[-3... 设定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)>0,且f(1)=2.若对任意的x∈[-3,3]都有f(x)≤a,则实数a的取值范围为______. 展开
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晕就戮5
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知道答主
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∵义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(0+0)=2f(0),
∴f(0)=0;令y=-x,
f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为R上的奇函数;
∵x∈(0,+∞),都有f(x)>0,
∴当-3≤x 1 <x 2 ≤3时,
f(x 2 )-f(x 1 )=f(x 2 )+f(-x 1 )=f(x 2 -x 1 )>0,
∴f(x 2 )>f(x 1 ),
∴f(x)在[-3,3]上是增函数,
又x∈(0,+∞)时,f(x)>0,且f(1)=2,
∴f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6,由题意可得,x∈[-3,3]时,-6≤f(x)≤6,
又对任意的x∈[-3,3]都有f(x)≤a,
∴a≥6,即实数a的取值范围为[6,+∞).
故答案为:[6,+∞).

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