设定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的x∈(0,+∞),
设定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)>0,且f(1)=2.若对任意的x∈[-3...
设定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)>0,且f(1)=2.若对任意的x∈[-3,3]都有f(x)≤a,则实数a的取值范围为______.
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∵义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y), ∴f(0+0)=2f(0), ∴f(0)=0;令y=-x, f(x)+f(-x)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴函数f(x)为R上的奇函数; ∵x∈(0,+∞),都有f(x)>0, ∴当-3≤x 1 <x 2 ≤3时, f(x 2 )-f(x 1 )=f(x 2 )+f(-x 1 )=f(x 2 -x 1 )>0, ∴f(x 2 )>f(x 1 ), ∴f(x)在[-3,3]上是增函数, 又x∈(0,+∞)时,f(x)>0,且f(1)=2, ∴f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6,由题意可得,x∈[-3,3]时,-6≤f(x)≤6, 又对任意的x∈[-3,3]都有f(x)≤a, ∴a≥6,即实数a的取值范围为[6,+∞). 故答案为:[6,+∞). |
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