Question

在等差数列{an}中，a16+a17+a18=a9=-36，其前n项和为Sn（1）求Sn的最小值，并求出Sn；（2）求Tn=|a1|+|a2

在等差数列{an}中，a16+a17+a18=a9=-36，其前n项和为Sn（1）求Sn的最小值，并求出Sn；（2）求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|．

Answer 1

（1）在等差数列{a_n}中，
∵a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-36，
∴3a₁₇=-36，解得a₁₇=-12，
∴d=

a17?a9

17?9

=

24

8

＝3，
∴a₉=a₁+8×3=-36，解得a₁=-60，
∴S_n=-60n+

n(n?1)

2

×3=

3

2

(n2?41n)=

3

2

(n?

41

2

)2-

5043

8

．
∴当n=20或n=21时，S_n取最小值-630．
（2）∵a₁=-60，d=3，
∴a_n=-60+（n-1）×3=3n-63，
由a_n=3n-63≥0，得n≥21，
∵a₂₀=3×20-63=-3＜0，a₂₁=3×21-63=0，
∴数列{a_n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，
当n≤21时，T_n=-S_n=-[-60n+

n(n?1)

2

×3]=-

3

2

n2+

123

2

n．
当n＞21时，T_n=S_n-2S₂₁=-60n+

n(n?1)

2

×3-2[-60×21+

21(21?1)

2

×3]
=

3

2

n2?

123

2

n+1260．
∴Tn＝

? 3 2 n2+ 123 2 n，n≤21 3 2 n2? 123 2 n+1260，n＞21

．