Question

如图，点P（0，-1）是椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2＝4的直径．l1，l

如图，点P（0，-1）是椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中斜率为k的直线l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）试用k表示△ABD的面积S；（3）求△ABD面积S取最大值时直线l1的方程．

Answer 1

（1）由已知得到b=1，且2a=4，
∴a=2，∴椭圆的方程是

x2

4

+y2＝1．
（2）∵直线l₁⊥l₂，且都过点P（0，-1），
∴设直线l₁：y=kx-1，
∴kx-y-1=0，直线l2：y＝?

1

k

x?1?x+ky+k＝0，
∴圆心（0，0）到直线l₁：y=kx-1即kx-y-1=0的距离为d＝

1

1+k2

，
∴直线l₁被圆x²+y²=4所截的弦AB＝2

4?d2

＝

2 3+4k2

1+k2

，
 由

x+ky+k＝0 x2 4 +y2＝1

?k2x2+4x2+8kx＝0，
∴x