Question

已知椭圆C:x2/4+y2=1，P为椭圆C的上顶点．过点P的两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆C分别交于

已知椭圆C:x2/4+y2=1，P为椭圆C的上顶点．过点P的两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆C分别交于异于点P的点A,B
求证：以PA,PB为直径的两个圆的另一个交点H在定圆上，并求此圆的方程

Answer 1

1. 设直线PA斜率为k，则直线PB斜率为-1/k

   得PA为y=kx+1,PB为y=-1/k x+1

   联立直线方程和椭圆方程，解得

   A(-8k/(4k²+1),(1-4k²)/(4k²+1))

   B(8k/(k²+4),(k²-4)/(k²+4))

   直线AB为y=(k²-1)/5k  x-3/5

   ∵H为以PA、PB为直径的圆的交点

   ∴∠PHA=∠PHB=90°

   ∴H在直线AB上，且PH⊥AB

   kPH=-1/kAB=5k/(1-k²)

   ∴直线PH为y=5k/(1-k²)  x+1

   联立直线AB和直线PH方程，消去参数，得

   (y+3/5)(y-1)=-x²

   整理，得

   x²+(y-1/5)²=16/25

   ∴点H在定圆上

Answer 2

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