已知椭圆C方程为x216+y212=1，已知P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的
已知椭圆C方程为x216+y212=1，已知P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．（1）若直线AB的斜率为12，求四边形APB...
已知椭圆C方程为x216+y212=1，已知P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．（1）若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；（2）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
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（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=
x+t，
代入
+
=1中整理得x2+tx+t2-12=0，
△＞0?-4＜t＜4，x1+x2=-t，x1x2=t2-12，
则四边形APBQ的面积S=
×|PQ|×|x1-x2|=
×6×|x1-x2|=3
，
故当t=0时Smax=12
；
（2）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，
设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，
PA的直线方程为y-3=k（x-2），代入
+
=1
中整理得（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0，
2+x1=
，
同理2+x2=
，x1+x2=
，x1-x2=
，
从而kAB=
=
| 1 |
| 2 |
代入
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
△＞0?-4＜t＜4，x1+x2=-t，x1x2=t2-12，
则四边形APBQ的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 48?3t2 |
故当t=0时Smax=12
| 3 |
（2）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，
设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，
PA的直线方程为y-3=k（x-2），代入
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
中整理得（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0，
2+x1=
| 8(2k?3)k |
| 3+4k2 |
同理2+x2=
| 8(2k+3)k |
| 3+4k2 |
| 16k2?12 |
| 3+4k2 |
| ?48k |
| 3+4k2 |
从而kAB=
| y2?y1 |
| x2?x1 |
| k(x1+x2)?4k |
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