Question

已知椭圆C：x^2/2+y^2=1的左右焦点为F1,F2，下顶点为A，P是椭圆上任一点，圆M是以pF2为直径的圆

1）当圆M面积为八分之π时，求PA所在直线方程 (2）当圆M与直线AF1相切时，求圆M方程

Answer 1

（1）、由π*r^2=π/8,可知：π*AF1^2=π/8,所以：PF2=√2/2.
由椭圆方程x^2/2+y^2=1，设p点坐标为：（√2cosa，sina），又F2(1,0),
PF2^2=(√2cosa-1)^2+sin^2a,
所以：1/2=cos^2a-2√2cosa+2
化简：cos^2a-2√2cosa+3/2=0,解得：cosa=√2/2,或cosa=3√2/2（舍）
所以p点坐标为（1，√2/2），又下顶点A（0，-1）。
于是可求得直线方程为：y=（2+√2）x/2-1
（2）、根据题意求得直线AF1方程为y+x+1=0.
设圆心坐标为（a,b),于是可得：圆心到直线距离与到F2点距离相等，且都等于r，
所以：（a+b+1)^2/2=(a-1)^2+b^2........(1)
又圆心为PF2中点，所以：x+1=2a，y+0=2b，化简：x=2a-1，y=2b。
代入椭圆方程得：(2a-1)^2+4b^2=1......(2)
连立（1）（2）解得：a=1/2，b=-1/2。于是解得：r=√2/2
于是圆的方程为：（x-1/2）^2+(y+1/2)^2=1/2

追问

为什么由椭圆方程x^2/2+y^2=1，设p点坐标为：（√2cosa，sina），为什么可以这样设，我是小白请求高手帮助

追答

这是椭圆的参数形式啊，你们老师没有讲过吗？或是书上的定义应该有介绍吧。
x=a×cosβ， y=b×sinβ a为长轴长的一半，b为短轴的一半。

Answer 2

那个是椭圆的参数方程
如果x^2/a^2+y^2/b^2=1
则x=acosθ
y=bsinθ
你把这两个参数方程代回原方程，得
a^2*(cosθ)^2/a^2+b^2*(sinθ)^2/b^2=1
约分，得
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1