Question

（2014?和平区一模）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解

（2014?和平区一模）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线AB上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

∵抛物线经过A、B、C三点，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax²+bx+c，
得方程组

c＝3 9a+3b+c＝0 a+b+c＝0

，

解得：

a＝1 b＝?4 c＝3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，
若△ABO∽△AP₁D，则

AO

AD

＝

OB

DP1

，
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4），
若△ABO∽△ADP₂ ，过点P₂作P₂ M⊥x轴于M，AD=4，
∵△ABO为等腰三角形，
∴△ADP₂是等腰三角形，
由三线合一可得：DM=AM=2=P₂M，即点M与点C重合，
∴P₂（1，2），
综上所述，点P的坐标为P₁（-1，4），P₂（1，2）；
（3）不存在．
理由：如答图2，设点E（x，y），则 S_△ADE=

1

2

①当P₁（-1，4）时，
S_{四边形AP1CE}=S_△ACP1+S_△ACE=

1

2

=4+|y|，
∴2|y|=4+|y|，
∴|y|=4
∵点E在x轴下方，
∴y=-4，代入得：x²-4x+3=-4，即x²-4x+7=0，
∵△=（-4）²-4×7=-12＜0
∴此方程无解；
②当P₂（1，2）时，
S_{四边形AP2CE}=S_△ACP2+S_△ACE=

1

2

=2+|y|，
∴2|y|=2+|y|，
∴|y|=2
∵点E在x轴下方，
∴y=-2，代入得：x²-4x+3=-2，即x²-4x+5=0，
∵△=（-4）²-4×5=-4＜0
∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．