Question

过抛物线y 2 =4x的焦点作一条倾斜角为 α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆 x 2 + y 2 = 3

过抛物线y 2 =4x的焦点作一条倾斜角为 α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆 x 2 + y 2 = 3 4 有公共点，则 α的取值范围是______．

Answer 1

抛物线y 2 =4x的焦点为F（1，0），当α=90°时，|AB|=2p=4＜8，故不满足条件， 故α≠90°． 设弦所在的直线方程为 y=k（x-1），即 kx-y-k=0，代入抛物线y 2 =4x可得 k 2 x 2 -（2k 2 +4）x+k 2 =0， ∴x 1 +x 2 =2+ 4 k 2 ． 由于弦长度不超过8，且由抛物线的定义可得|AB|=2+x 1 +x 2 ，∴2+ 4 k 2 ≤6，k 2 ≥1， 故有 k≤-1，或 k≥1 ①． 再由弦所在的直线与圆 x 2 + y 2 = 3 4 有公共点，可得圆心（0，0）到弦所在的直线 kx-y-k=0的距离小于或等半径， 即 |0-0-k| k 2 +1 ≤ 3 2 ． 解得- 3 ≤k≤ 3 ，且 k≠0 ②． 由①②可得 1≤k≤ 3 ，或- 3 ≤k≤-1，即 1≤tanα≤ 3  或- 3 ≤tanα≤-1． 再由 0≤α＜π可得，α的范围是[ π 4 ， π 3 ]∪[ 2π 3 ， 3π 4 ]， 故答案为[ π 4 ， π 3 ]∪[ 2π 3 ， 3π 4 ]．