Question

（2010?济南一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的

（2010?济南一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC上一点，且PA∥平面BDM，（1）求证：M为PC的中点；（2）求证：面ADM⊥面PBC．

Answer 1

证明：
（1）连接AC，AC与BD交于G，则面PAC∩面BDM=MG，
由PA∥平面BDM，可得PA∥MG（3分）
∵底面ABCD为菱形，∴G为AC的中点，
∴MG为△PAC的中位线．
因此M为PC的中点．（5分）

（2）取AD中点O，连接PO，BO．
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以，PO⊥平面ABCD，（7分）
∵底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，△ABD是正三角形，
∴AD⊥OB．
∴OA，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系{

OA

，

OB

，

OP

}（7分）
则A（1，0，0），B(0，

3

，0)，D(?1，0，0)，P(0，0，

3

)
∴

DP

＝(1，0，

3

)，

AB

＝(?1，

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