Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是角DAB＝60度，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是角DAB＝60度，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD 1.若G为AD边的中点，求证BG垂直平面PAD 2.求证AD垂直PB 3.若E为BC中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF垂直平面ABCD，证明你的结论

Answer 1

（1）证明：在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BG⊥平面PAD．
（2）证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，
得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，
PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG=G，
所以AD⊥平面PGB，因为PB⊂平面PGB．
所以AD⊥PB．
（3）解：由（2）知，PG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．
因为BG⊥AD，所以BG⊥BC，
所以∠PBG为二面角A-BC-P的平面角
因为PG=BG=，所以∠PBG=45°；

（4）解：当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：
取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，
EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因为PG⊥AD，AD∩BG=G，
∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．

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