Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求二面角A-BC-P的大小．

Answer 1

（1）证明： ∵△PAD为正三角形，G为AD边的中点，∴PG⊥AD， ∵平面PAD垂直于底面ABCD，∴PG⊥底面ABCD，∴PG⊥BG 在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=a ∴ B G 2 = a 2 + 1 4 a 2 -2a? 1 2 a?cos60°= 3 4 a 2 ， ∴△ABG为直角三角形， 且BG⊥AG，PG∩AD=G，∴BG⊥平面PAD （2）由（1）知PG⊥底面ABCD，BG⊥AD，AD ∥ BC， ∴BG⊥BC，PB⊥BC， ∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角， ∵ PG= 3 2 a，BG= 3 2 a ，∴tan∠PBG=1，∴ ∠PBG= π 4