Question

（2007?丰台区二模）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．且点E在下底边BC上，点F在腰A

（2007?丰台区二模）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．且点E在下底边BC上，点F在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：3两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．解：

Answer 1

（1）由已知条件得：
梯形周长为24，高4，面积为28．
过点F作FG⊥BC于G，

∴BK=

1

2

（BC-AD）=

1

2

×（10-4）=3，
∴AK=

AB2?BK2

=4，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，
∴BF=12-x，
过点A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK，
∴

FG

AK

＝

BF

BA

，
即：

FG

4

＝

12?x

5

，
则可得：FG=

12?x

5

×4
∴S_△BEF=

1

2

BE?FG=-

2

5

x²+

24

5

x（7≤x≤10）；

（2）存在．
由（1）得：-

2

5

x²+

24

5

x=14，
x²-12x+35=0，
（x-7）（x-5）=0，
解得x₁=7，x₂=5（不合题意舍去）
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；

（3）不存在．
假设存在，显然是：S_△BEF：S_AFECD=1：3，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：3（1分），
梯形ABCD周长的四分之一为6，面积的四分之一为7．因为BE=x，
所以BF=（6-x），FG=

(6?x)×4

5

，
所以△BEF的面积为

(6?x)×4?x

5

×

1

2

=7，
整理得：-2x²+12x-35=0，
△=144-280＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：3的两部分．