Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，（n=1，2，3…）数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，（n=1，2，3…）数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1；（3）记Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn，求Tn．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n-2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），即a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，∴

an

an?1

＝2，(n≥2，n∈N*)，
∴即数列{a_n}是等比数列．…（2分）
∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴an＝2n．…（3分）
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2．
即数列{b_n}是等差数列，又b₁，∴b_n=2n-1．…（6分）
（2）∵

1

bnbn+1

＝

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

?

1

5

+…+

1

2n?1

?

1

2n+1

）
=

1

2

(1?

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．…（9分）
（3）T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）?2ⁿ．①
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）?2ⁿ+（2n-1）?2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹，…（11分）
∴-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）?2ⁿ⁺¹+6．…（13分）