Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，（n=1，2，3…）数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，（n=1，2，3…）数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）记Sn=a1b1+a2b2+…+anbn，求满足Sn＜167的最大正整数n．

Answer 1

（ I）∵S_n=2a_n-2，∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1
∵a_n≠0，∴

an

an?1

＝2（n≥2），即数列{a_n}是等比数列．
∵S_n=2a_n-2，∴当n=1时，a₁=2，∴an＝2n                               …（3分）
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上
∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2
即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1     …（6分）
（ II）S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ ①（7分）
∴2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-1）×2ⁿ⁺¹②
①-②得：-S_n=1×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹②…（9分）
∴Sn＝(2n?3)?2n+1+6（10分）
∵S_n＜167，即（2n-3）?2ⁿ⁺¹+6＜167
于是（2n-3）?2ⁿ⁺¹＜161（11分）
又由于当n=4时，（2n-3）?2ⁿ⁺¹=160
当n=5时，（2n-3）?2ⁿ⁺¹=448（13分）
故满足条件S_n＜167最大的正整数n为4（14分）