Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，且点P（bn，bn+1）（n∈N*）在直线

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，且点P（bn，bn+1）（n∈N*）在直线y=x+2上．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an?bn}的前n项和Dn；（Ⅲ）设cn=an?sin2nπ2?bn?cos2nπ2 (n∈N*)，求数列{cn}的前2n项和T2n．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1，a₁=2…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1…（2分）
∴a_n=2a_n-1（n≥2），∴{a_n}是等比数列，公比为2，首项a₁=2
∴an＝2n…（3分）
又点P(bn，bn+1) (n∈N*)在直线y=x+2上，∴b_n+1=b_n+2，
∴{b_n}是等差数列，公差为2，首项b₁=1，∴b_n=2n-1…（5分）
（Ⅱ）∵an?bn＝(2n?1)×2n
∴Dn＝1×21+3×22+5×23+7×24+…(2n?3)×2n?1+(2n?1)×2n①
2Dn＝1×22+3×23+5×24+7×25+…(2n?3)×2n+(2n?1)×2n+1②
①-②得?Dn＝1×21+2×22+2×23+2×24+…2×2n?(2n?1)×2n+1…（7分）
=2+2×

4(1?2n?1)

1?2

?(2n?1)×2n+1＝2n+1(3?2n)?6…（8分）
Dn＝(2n?3)2n+1+6…（9分）
（Ⅲ）cn＝

2n，n为奇数 ?(2n?1)，n为偶数

…（11分）
T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）-（b₂+b₄+…b_2n）
=2+23+…+22n?1?[3+7+…+(4n?1)]＝

22n+1?2

3

?2n2?n…（13分）