Question

如图所示，在三角形ABC中，角BAC=90度，AD⊥BC于点D，BE交AD于F，交AC于E，

1若BE平分∠ABC，试判断△AEF的形状，并说明理由

2若AE＝AF，请证明BE平分∠ABC

Answer 1

E是AC边上的点,D是BC边上的点.
第一题: 因为BE平分∠ABC,所以∠3=∠4; ∠BAC为直角,所以∠2=90°-∠3

AD垂直BC,所以∠BFD=90°-∠4=∠1

因为∠3=∠4,所以∠1=∠2. △AEF是等腰三角形

第二题: 因为AE=AF,所以∠1=∠2
∠3=90°-∠2
∠1=∠BFD,且∠4=90°-∠BFD=90°-∠1
所以∠3=∠4 故BE平分∠ABC

Answer 2

1、等腰△AEF
证明：
∵∠BAC＝90
∴∠ABC+∠C＝90
∵AD⊥BC
∴∠ABC+∠BAD＝90
∴∠BAD＝∠C
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE
∵∠AEF＝∠BAD+∠ABE，∠AFE＝∠C+∠CBE
∴∠AEF＝∠AFE
∴AE＝AF
∴等腰△AEF
2、证明：
∵∠BAC＝90
∴∠ABC+∠C＝90
∵AD⊥BC
∴∠ABC+∠BAD＝90
∴∠BAD＝∠C
∵AE＝AF
∴∠AEF＝∠AFE
∵∠AEF＝∠BAD+∠ABE，∠AFE＝∠C+∠CBE
∴∠ABE＝∠CBE
∴BE平分∠ABC