Question

设S n 是数列{a n }的前n项和，已知S 3 =3，如果{a n }是等比数列，那么a 2 的取值范围是______

设S n 是数列{a n }的前n项和，已知S 3 =3，如果{a n }是等比数列，那么a 2 的取值范围是______．

Answer 1

在等比数列{a n }中，设公比为q， ∵ S 3 = a 1 + a 2 + a 3 = a 2 (1+q+ 1 q )=1+q+ 1 q ， ∴①当公比q＞0时， S 3 =1+q+ 1 q ≥1+2 q? 1 q =3 ，当且仅当 q=1时，等号成立， 而已知S 3 =3，∴q=1，故数列{a n }是常数数列． ②当公比q＜0时， S 3 =1-(-q- 1 q )≤1-2 -q?(- 1 q ) =-1 ，不满足条件． 综合①②可得，数列{a n }是常数数列，再由S 3 =3，可得a 2 =1． 故答案为 a 2 =1．