Question

如图,PA为○O的切线,PBC为○O的割线,AD⊥OP于点D,求证:AD²=BD·CD

Answer 1

证明：如图，

∵PA为切线，∴OA⊥AP，又∵AD⊥OP

∴PA^2=PD*PO【射影定理：直角三角形中,直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项】

又∵PA是圆O的切线,PBC为○O的割线

∴PA^2=PB*PC  ；【切割线定理】

∴PD*PO=PB*PC  ；（∴B、C、O、D四点共圆）

∴PD：PC=PB：PO，∵∠BPD=∠OPC，

∴△PBD∽△POC，【两边对应成比例，两边的夹角是公共角】

又∵OA^2=OD*OP,【射影定理】，∴OD：OA=OA：OP，（又∵OA=OC=圆O半径）

∴OD：OC=OC：OP，∵∠COD=∠POC

∴△COD∽△POC，【两边对应成比例，两边的夹角是公共角】

∴△PBD∽△COD，【∵△PBD∽△POC，△COD∽△POC】

∴BD：OD=PD：CD，

∴BD*CD=OD*PD，【比例的性质：内项积=外项积】

∵AD^2=OD*PD，【射影定理：直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项】

∴AD^2=BD*CD