Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t（s）．当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．

Answer 1

若△APQ与△AOB相似，有两种情况． ∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°， ∴AB=10．设Q点的坐标是（x，y）． （1）当P与O对应时，△APQ ∽ △AOB， AP AO = AQ AB ， t 6 = 10-2t 10 ，即t= 30 11 s， ∴AP= 30 11 ， ∴OP=0A-AP= 36 11 ． ∴BQ= 60 11 ， ∴x=OB-BQ?cosB=8- 60 11 × 8 10 = 40 11 ， 过Q作QC⊥OB于C， y=QC=QBsinB= 36 11 ， P（0， 36 11 ），Q（ 40 11 ， 36 11 ） （2）当P与O对应时，△APQ ∽ △AOB， ∴ AP AO = AQ AB ，即 t 6 = 10-2t 10 ， 解得：t= 30 11 ， ∴AP= 30 11 ，OP=OA-AP= 36 11 ， ∴BQ= 60 11 ， ∴x=OB-BQ?cosB=8- 60 11 × 8 10 = 40 11 ，y=QBsinB= 60 11 × 6 10 = 36 11 ． 所以P（0， 36 11 ），Q（ 40 11 ， 36 11 ）， 当P与B对应时，△APQ ∽ △ABO， ∴ AP AB = AQ AO ，即 t 10 = 10-2t 6 ， 解得：t= 50 13 ， ∴AP= 50 13 ，OP=OA-AP= 28 13 ． ∴BQ= 100 13 ， ∴x=OB-BQ?cosB=8- 100 13 × 8 10 = 24 13 ，y=QBsinB= 100 13 × 6 10 = 60 13 ． 所以P（0， 28 13 ）Q（ 24 13 ， 60 13 ）， 综上，P（0， 36 11 ），Q（ 40 11 ， 36 11 ）或者P（0， 28 13 ）Q（ 24 13 ， 60 13 ）．