Question

设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=32|F1F2|．（

设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=32|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F₂（c，0），
由|AB|=

3

2

|F₁F₂|，可得

a2+b2

＝

3

2

×2c，化为a²+b²=3c²．
又b²=a²-c²，∴a²=2c²．
∴e=

c

a

＝

2

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²=c²．因此椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

＝1．
设P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c），可得

F1P

=（x₀+c，y₀），

F1B

=（c，c）．
∵

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