Question

已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰

已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点(?12，?2)．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，
点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形，
∴b=2，a2＝(

2

b)2＝8，
所求椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

＝1． …（5分）
（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，
依题意m≠±2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 

x2 8 + y2 4 ＝1 y＝kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．…（7分）
则x1+x2＝?

4km

1+2k2

，x1x2＝

2m2?8

1+2k2

．
∵

y1?2

x1

+

y2?2

x2

＝8，
∴

kx1+m?2

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