Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，O为坐标原点，点P是椭圆上的一点，点M为PF1的

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，O为坐标原点，点P是椭圆上的一点，点M为PF1的中点，|OF1|=2|OM|，且OM⊥PF1，则该椭圆的离心率为______．

Answer 1

解：如图，∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点
分别是F₁、F₂，O为坐标原点，
点P是椭圆上的一点，点M为PF₁的中点，
|OF₁|=2|OM|，且OM⊥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，|PF₂|=c，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=

3

c，
由椭圆定义知

3

c +c=2a，∴a=

3 +1

2

c，
∴e=

c

a

=

c

3 +1 2 c

=

3

?1．
故答案为：

3

?1．