Question

增广矩阵为B=（Am×n，b）的非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解充分必分条件______

增广矩阵为B=（Am×n，b）的非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解充分必分条件______．

Answer 1

r（A）=r（B）＜n

由于对非齐次线性方程组Ax=b，做初等行变换不会改变其解，而对Ax=b做初等行变换，也就是对其增广矩阵做初等行变换化成行阶梯形矩阵后，如果非零行的数目小于未知数，即方程的个数小于未知数的个数时，Ax=b有无穷多解即r（A）=r（B）＜n时，Ax=b有无穷多解。

反之，若r（A）=r（B）=s＜n，则增广矩阵B有s个非零行，把这s个非零行的首非零元对应的未知量作为非自由量，其余的n-s各变量作为自由变量，就可以得到Ax=b的无穷多个解。

扩展资料：

对系数矩阵进行的一个增广矩阵，切勿以为增广矩阵只是右端添加一列，其实是在原矩阵的右端添加一个矩阵，而线性方程组的右端恰好是一个列数为1的矩阵。

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

1、对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

2、若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

3、设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示。

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）

参考资料来源：百度百科——非齐次线性方程组

Answer 2

由于对非齐次线性方程组Ax=b，做初等行变换不会改变其解，
而对Ax=b做初等行变换，也就是对其增广矩阵做初等行变换
化成行阶梯形矩阵后，如果非零行的数目小于未知数，即
方程的个数小于未知数的个数时，Ax=b有无穷多解
即r（A）=r（B）＜n时，Ax=b有无穷多解
反之，若r（A）=r（B）=s＜n，则增广矩阵B有s个非零行，
把这s个非零行的首非零元对应的未知量作为非自由量，其余的n-s各变量作为自由变量，
就可以得到Ax=b的无穷多个解
故填：r（A）=r（B）＜n．