Question

如图所示，在光滑的水平面上，质量为M=1kg的平板车左端放有质量为m=2kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素μ

如图所示，在光滑的水平面上，质量为M=1kg的平板车左端放有质量为m=2kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素μ=0.5．开始时，车和铁块以共同速度v=6m/s向右运动，车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的．车身足够长，使铁块不能和墙相碰．重力加速度g=10m/s2．试求：（1）铁块相对车运动的总路程；（2）平板车第一次碰墙后所走的总路程．

Answer 1

（1）假如平板车在第二次碰撞前和滑块相对静止，取向右方向为正方向，设平板车在第二次碰撞前和滑块具有的共同速度为v₁．此即平板车碰墙前瞬间的速度．
根据系统的动量守恒得：
  mv-Mv=（m+M）v₁；    
得 v₁=

m?M

m+M

v=

2?1

2+1

×6m/s=2m/s，方向向右；
第一次撞墙后车向左运动的最大距离为S₁，则由动能定理得：-μmgS₁=0-

1

2

mv2，得 S₁=

v2

2μg

=

62

2×5

=3.6m
反向加速通过的位移为S′，则由动能定理得 μmgS′=

1

2

mv′2，S′=

v 2 1

2μg

＜S
所以车第二次撞墙前必然与铁块达到共同速度v₁．
   车第二次撞墙后，车速大小不变，方向反向，系统的动量仍守恒，同理可知第三次撞墙前，两者速度又相同，共同速度为 v₂=

m?M

m+M

v₁=

2?1

2+1

v₁=(

1

3

)2v，方向向右，朝墙运动；
依此类推，可知车与墙第三撞后，共同速度大小为 v₃=

m?M

m+M

v₂=

2?1

2+1

v₂=（

1

3

）³v，向右朝墙运动，由于系统的机械能不断减小，车足够长，最终车停在墙角处，总动能为零．
设铁块相对车运动的总路程为△S，对于全过程，对系统根据能量守恒有：

1

2

（M+m）v²=μmg△S   
解得△S=5.4m
（2）第二次撞墙后车向左运动的最大距离为S₂，则由动能定理得：-μmgS₂=0-

1

2

m

v

2 1

，得 S₂=

v 2 1

2μg

=

( 1 3 v)2

2μg

=

1

32

S₁；
同理，第三次撞墙后车向左运动的最大距离为S₃=

1

34

S₁；
  …
第n次撞墙后车向左运动的最大距离为 S_n=

1

32(n?1)

S₁；
可得平板车第一次碰墙后所走的总路程为 S_总=2（S₁+S₂+S₃+…+S_n）=2（S₁+

1

32

S₁+

1

34

S₁+…+

1

32(n?1)

S₁）
而n→∞，代入解得 S_总=4.05m
答：
（1）铁块相对车运动的总路程是5.4m；
（2）平板车第一次碰墙后所走的总路程是4.05m．