（2012?宜昌模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是AC的中点，AE=2．经过点E作△ABE外接圆的切线交BC于
（2012?宜昌模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是AC的中点，AE=2．经过点E作△ABE外接圆的切线交BC于点D，过点C作CF⊥BC交BE的延长线于点F...
（2012?宜昌模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是AC的中点，AE=2．经过点E作△ABE外接圆的切线交BC于点D，过点C作CF⊥BC交BE的延长线于点F，连接FD交AC于点H，FD平分∠BFC．（1）求证：DE=DC；（2）求证：HE=HC=1；（3）求BD的长度．
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（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴BE是△ABE外接圆的直径；
又∵DE是△ABE外接圆的切线（已知），
∴DE⊥BF；
又∵CF⊥BC（已知），FD平分∠BFC，
∴DE=DC（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）；
（2）证明：∵E是AC的中点，AE=2，
∴CE=AE=2；
在Rt△DEF和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL），
∴∠EDH=∠CDH，
∴DH是CE边上的中线，DH⊥CE，
∴HE=HC=1；
（3）解：∵∠ABE+∠AEB=90°（直角三角形的两个锐角互余），∠AEB=∠FEH（对顶角相等），∠FEH+∠DEH=90°，
∴∠ABE=∠DEH=∠DCH，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AEB，
∴AB：AC=AE：AB，
∵AE=2，AC=2AE=4，
∴AB=2
，
∴tan∠ABE=
=
；
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理知，BC=2
；
∵tan∠ABE=tan∠DCH=
=
，
∴DH=
∴BE是△ABE外接圆的直径；
又∵DE是△ABE外接圆的切线（已知），
∴DE⊥BF；
又∵CF⊥BC（已知），FD平分∠BFC，
∴DE=DC（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）；
（2）证明：∵E是AC的中点，AE=2，
∴CE=AE=2；
在Rt△DEF和Rt△DCF中，
|
∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL），
∴∠EDH=∠CDH，
∴DH是CE边上的中线，DH⊥CE，
∴HE=HC=1；
（3）解：∵∠ABE+∠AEB=90°（直角三角形的两个锐角互余），∠AEB=∠FEH（对顶角相等），∠FEH+∠DEH=90°，
∴∠ABE=∠DEH=∠DCH，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AEB，
∴AB：AC=AE：AB，
∵AE=2，AC=2AE=4，
∴AB=2
| 2 |
∴tan∠ABE=
| AE |
| AB |
| ||
| 2 |
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理知，BC=2
| 6 |
∵tan∠ABE=tan∠DCH=
| DH |
| HC |
| ||
| 2 |
∴DH=
|
