Question

已知函数f（x）=4x+m?2x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点

已知函数f（x）=4x+m?2x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

Answer 1

∵f（x）=4^x+m?2^x+1有且仅有一个零点，即方程（2^x）²+m?2^x+1=0仅有一个实根．
设2^x=t（t＞0），则t²+mt+1=0．
当△=0，即m²-4=0，∴m=-2时，t=1．当m=2时，t=-1不合题意，舍去．
∴2^x=1，x=0符合题意．
当△＞0，即m＞2或m＜-2时，
关于t的方程t²+mt+1=0应有一正一负根，即t₁t₂＜0，这与t₁t₂＞0矛盾，∴这种情况不可能．
综上可知：m=-2时，?（x）有唯一零点，该零点为x=0．