Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}为首项为1，公差为1的等差数列（1）求a1及a

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}为首项为1，公差为1的等差数列（1）求a1及an，bn．（2）记cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵a_n是S_n与2的等差中项，
∴S_n=2a_n-2，∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
又∵S_n-S_n-1=a_n，n≥2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴

an

an?1

=2（n≥2），即数列{a_n}是等比数列，
∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ．
∵数列{b_n}为首项为1，公差为1的等差数列，
∴b_n=1+（n-1）=n．
（2）∵an＝2n，b_n=n，
∴c_n=a_n?b_n=n?2ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1?2n)

1?2

-n×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2．