Question

设当x→0时，f（x）=ex-1+ax1+bx为x的3阶无穷小，则a=______，b=______

设当x→0时，f（x）=ex-1+ax1+bx为x的3阶无穷小，则a=______，b=______．

Answer 1

当x→0时，f（x）是x的3阶无穷小，
则：
0=

lim

x→0

f(x)

x3

＝

lim

x→0

ex? 1+ax 1+bx

x3

＝

lim

x→0

ex+bxex?1?ax

x3(1+bx)

＝

lim

x→0

ex+bxex?1?ax

x3

=

lim

x→0

ex+bex+bxex?a

3x2

（一次洛必达法则应用，并记此式为①）
=

lim

x→0

ex+2bex+bxex

6x

（二次洛必达法则应用，并记此式为②）
由①知：

lim

x→0

(ex+bex+bxex?a)＝1+b?a＝0，
由②知：

lim

x→0

(ex+2bex+bxex)＝1+2b＝0，
从而解得：b＝?

1

2

，a＝

1

2

．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示