已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,D为边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且E,F分别在边AB,AC上.(1
已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,D为边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且E,F分别在边AB,AC上.(1)如图a,当△ABC是等边三角形时,证明:A...
已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,D为边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且E,F分别在边AB,AC上.(1)如图a,当△ABC是等边三角形时,证明:AE+AF=32BC.(2)如图b,若△ABC中,∠BAC=120°,探究线段AE,AF,AB之间的数量关系,并对你的猜想加以证明.(3)如图c,若△ABC中,AB=10,BC=16,EF=6,利用你对(1),(2)两题的解题思路计算出线段CD(BD>CD)的长.
展开
展开全部
解答:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴∠EDB=∠FDC=30°,
∴EB=
BD,FC=
CD,
∴BE+FC=
BD+
CD=
BC,
∴AE+AF=AB+AC-BE-FC=2BC-
BC,
∴AE+AF=
BC;
(2)解:AE+AF=
AB.
理由:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∴BE=BD?cos30°,CF=CD?cos30°,
∴AE+AF=AB-BE+AC-CF,
=2AB-BD?cos30°-CD?cos30°,
=2AB-BC?cos30°,
=2AB-2AB?cos30°×cos30°,
=
AB,
即AE+AF=
AB;
(3)解:过点A作AM⊥BC于点M,
∵AC=AB=10,BC=16,EF=6,
∴BM=CM=8,
由勾股定理得,AM=
=
=6,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴在Rt△BDE中,BE=BD?cos∠B=
BD=
BD,
在Rt△CDF中,CF=CD?cos∠C=
CD=
CD,
∴BE+CF=
(BD+CD)=
BC=
×16=
,
∴AE+AF=AB+AC-(BE+CF)=2×10-
=
,
过点F作FG⊥BA的延长线于G,过点C作CN⊥BA的延长线于N,
则S△ABC=
AB?CN=
BC?AM,
即
×10?CN=
×16×6,
解得CN=
,
由勾股定理,AN=
=
=
,
∴sin∠CAN=
=
=
,
cos∠CAN=
=
=
,
设AF=x,则AE=
-x,
在Rt△AFG中,FG=AF?sin∠CAN=
x,
AG=AF?cos∠CAN=
x,
∴EG=AE+AG=
-x+
x=
-
x,
在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2,
即62=(
-
x)2+(
x)2,
整理得,5x2-36x+55=0,
解得x1=5,x2=
,
∵BD>CD,
∴AF=AE=5,
∴CF=AC-AF=10-5=5,
CD=CF÷cos∠C=5÷
=
.
∴∠EDB=∠FDC=30°,
∴EB=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴BE+FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AE+AF=AB+AC-BE-FC=2BC-
1 |
2 |
∴AE+AF=
3 |
2 |
(2)解:AE+AF=
1 |
2 |
理由:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∴BE=BD?cos30°,CF=CD?cos30°,
∴AE+AF=AB-BE+AC-CF,
=2AB-BD?cos30°-CD?cos30°,
=2AB-BC?cos30°,
=2AB-2AB?cos30°×cos30°,
=
1 |
2 |
即AE+AF=
1 |
2 |
(3)解:过点A作AM⊥BC于点M,
∵AC=AB=10,BC=16,EF=6,
∴BM=CM=8,
由勾股定理得,AM=
AB2?BM2 |
102?82 |
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴在Rt△BDE中,BE=BD?cos∠B=
8 |
10 |
4 |
5 |
在Rt△CDF中,CF=CD?cos∠C=
8 |
10 |
4 |
5 |
∴BE+CF=
4 |
5 |
4 |
5 |
4 |
5 |
64 |
5 |
∴AE+AF=AB+AC-(BE+CF)=2×10-
64 |
5 |
36 |
5 |
过点F作FG⊥BA的延长线于G,过点C作CN⊥BA的延长线于N,
则S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
即
1 |
2 |
1 |
2 |
解得CN=
48 |
5 |
由勾股定理,AN=
AC2?CN2 |
102?(
|
14 |
5 |
∴sin∠CAN=
CN |
AC |
| ||
10 |
24 |
25 |
cos∠CAN=
AN |
AC |
| ||
10 |
7 |
25 |
设AF=x,则AE=
36 |
5 |
在Rt△AFG中,FG=AF?sin∠CAN=
24 |
25 |
AG=AF?cos∠CAN=
7 |
25 |
∴EG=AE+AG=
36 |
5 |
7 |
25 |
36 |
5 |
18 |
25 |
在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2,
即62=(
36 |
5 |
18 |
25 |
24 |
25 |
整理得,5x2-36x+55=0,
解得x1=5,x2=
11 |
5 |
∵BD>CD,
∴AF=AE=5,
∴CF=AC-AF=10-5=5,
CD=CF÷cos∠C=5÷
4 |
5 |
25 |
4 |
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询