已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,D为边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且E,F分别在边AB,AC上.(1

已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,D为边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且E,F分别在边AB,AC上.(1)如图a,当△ABC是等边三角形时,证明:A... 已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,D为边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且E,F分别在边AB,AC上.(1)如图a,当△ABC是等边三角形时,证明:AE+AF=32BC.(2)如图b,若△ABC中,∠BAC=120°,探究线段AE,AF,AB之间的数量关系,并对你的猜想加以证明.(3)如图c,若△ABC中,AB=10,BC=16,EF=6,利用你对(1),(2)两题的解题思路计算出线段CD(BD>CD)的长. 展开
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白花1020
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解答:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴∠EDB=∠FDC=30°,
∴EB=
1
2
BD,FC=
1
2
CD,
∴BE+FC=
1
2
BD+
1
2
CD=
1
2
BC,
∴AE+AF=AB+AC-BE-FC=2BC-
1
2
BC,
∴AE+AF=
3
2
BC;

(2)解:AE+AF=
1
2
AB.
理由:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∴BE=BD?cos30°,CF=CD?cos30°,
∴AE+AF=AB-BE+AC-CF,
=2AB-BD?cos30°-CD?cos30°,
=2AB-BC?cos30°,
=2AB-2AB?cos30°×cos30°,
=
1
2
AB,
即AE+AF=
1
2
AB;

(3)解:过点A作AM⊥BC于点M,
∵AC=AB=10,BC=16,EF=6,
∴BM=CM=8,
由勾股定理得,AM=
AB2?BM2
=
102?82
=6,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴在Rt△BDE中,BE=BD?cos∠B=
8
10
BD=
4
5
BD,
在Rt△CDF中,CF=CD?cos∠C=
8
10
CD=
4
5
CD,
∴BE+CF=
4
5
(BD+CD)=
4
5
BC=
4
5
×16=
64
5

∴AE+AF=AB+AC-(BE+CF)=2×10-
64
5
=
36
5

过点F作FG⊥BA的延长线于G,过点C作CN⊥BA的延长线于N,
则S△ABC=
1
2
AB?CN=
1
2
BC?AM,
1
2
×10?CN=
1
2
×16×6,
解得CN=
48
5

由勾股定理,AN=
AC2?CN2
=
102?(
48
5
)
2
=
14
5

∴sin∠CAN=
CN
AC
=
48
5
10
=
24
25

cos∠CAN=
AN
AC
=
14
5
10
=
7
25

设AF=x,则AE=
36
5
-x,
在Rt△AFG中,FG=AF?sin∠CAN=
24
25
x,
AG=AF?cos∠CAN=
7
25
x,
∴EG=AE+AG=
36
5
-x+
7
25
x=
36
5
-
18
25
x,
在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2
即62=(
36
5
-
18
25
x)2+(
24
25
x)2
整理得,5x2-36x+55=0,
解得x1=5,x2=
11
5

∵BD>CD,
∴AF=AE=5,
∴CF=AC-AF=10-5=5,
CD=CF÷cos∠C=5÷
4
5
=
25
4
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