Question

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且E，F分别在边AB，AC上．（1

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且E，F分别在边AB，AC上．（1）如图a，当△ABC是等边三角形时，证明：AE+AF=32BC．（2）如图b，若△ABC中，∠BAC=120°，探究线段AE，AF，AB之间的数量关系，并对你的猜想加以证明．（3）如图c，若△ABC中，AB=10，BC=16，EF=6，利用你对（1），（2）两题的解题思路计算出线段CD（BD＞CD）的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠EDB=∠FDC=30°，
∴EB=

1

2

BD，FC=

1

2

CD，
∴BE+FC=

1

2

BD+

1

2

CD=

1

2

BC，
∴AE+AF=AB+AC-BE-FC=2BC-

1

2

BC，
∴AE+AF=

3

2

BC；

（2）解：AE+AF=

1

2

AB．
理由：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴BE=BD?cos30°，CF=CD?cos30°，
∴AE+AF=AB-BE+AC-CF，
=2AB-BD?cos30°-CD?cos30°，
=2AB-BC?cos30°，
=2AB-2AB?cos30°×cos30°，
=

1

2

AB，
即AE+AF=

1

2

AB；

（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，
∵AC=AB=10，BC=16，EF=6，
∴BM=CM=8，
由勾股定理得，AM=

AB2?BM2

=

102?82

=6，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴在Rt△BDE中，BE=BD?cos∠B=

8

10

BD=

4

5

BD，
在Rt△CDF中，CF=CD?cos∠C=

8

10

CD=

4

5

CD，
∴BE+CF=

4

5

（BD+CD）=

4

5

BC=

4

5

×16=

64

5

，
∴AE+AF=AB+AC-（BE+CF）=2×10-

64

5

=

36

5

，
过点F作FG⊥BA的延长线于G，过点C作CN⊥BA的延长线于N，
则S_△ABC=

1

2

AB?CN=

1

2

BC?AM，
即

1

2

×10?CN=

1

2

×16×6，
解得CN=

48

5

，
由勾股定理，AN=

AC2?CN2

=

102?( 48 5 )2

=

14

5

，
∴sin∠CAN=

CN

AC

=

48 5

10

=

24

25

，
cos∠CAN=

AN

AC

=

14 5

10

=

7

25

，
设AF=x，则AE=

36

5

-x，
在Rt△AFG中，FG=AF?sin∠CAN=

24

25

x，
AG=AF?cos∠CAN=

7

25

x，
∴EG=AE+AG=

36

5

-x+

7

25

x=

36

5

-

18

25

x，
在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²，
即6²=（

36

5

-

18

25

x）²+（

24

25

x）²，
整理得，5x²-36x+55=0，
解得x₁=5，x₂=

11

5

，
∵BD＞CD，
∴AF=AE=5，
∴CF=AC-AF=10-5=5，
CD=CF÷cos∠C=5÷

4

5

=

25

4

．