Question

观察下列运算并填空：1×2×3×4+1=25=5 2 ；2×3×4×5+1=121=11 2 ：3×4×5×6+1=361=19 2 ；…根据以

观察下列运算并填空：1×2×3×4+1=25=5 2 ；2×3×4×5+1=121=11 2 ：3×4×5×6+1=361=19 2 ；…根据以上结果，猜想并研究：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=______．

Answer 1

由1×2×3×4+1=25=5 2 =（0 2 +5×0+5） 2 ； 2×3×4×5+1=121=11 2 =（1 2 +5×1+5） 2 ； 3×4×5×6+1=361=19 2 =（2 2 +5×2+5） 2 ，… 观察发现：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=（n 2 +5n+5） 2 ． 证明：等式左边=（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1 =（n 2 +3n+2）（n 2 +7n+12）+1 =n 4 +7n 3 +12n 2 +3n 3 +21n 2 +36n+2n 2 +14n+25 =n 4 +10n 3 +35n 2 +50n+25 =n 4 +2n 2 （5n+5）+（5n+5） 2 =（n 2 +5n+5） 2 =等式右边． 故答案为：（n 2 +5n+5） 2

Answer 2

[n*(n+3)+1]²
=(n²+3n+1)²