Question

观察下列运算并填空 1×2×3×4+1=25=52 2×3×4×5+1=121=112 3×4×5×6+1=361=192

根据上述算式所反应出的规律，猜想“任意四个连续正整数的积与1的和一定是一个完全平方数”，你认为这个猜想正确吗？说说你的理由

Answer 1

正确
（a-1) x a x (a+1)(a+2)+1=a^4+2a^3-a^2-2a+1=(a^2+a-1)^2

Answer 2

解：对；理由是：设n为任意自然数，则四个连续自然数的积可以表示为：n（n+1）（n+2）（n+3），
因为n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=n（n+3）（n+1）（n+2）+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）[（n2+3n）+2]+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2．